τρίγωνο

Γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει αν τρία σημεία, τα οποία δεν βρίσκονται σε ευθεία, συνδεθούν ανά δύο με ευθύγραμμα τμήματα. Τα τρία τμήματα των ευθειών καλούνται πλευρές και τα σημεία κορυφές του τ. Ως προς τις πλευρές, το τ. μπορεί να είναι ισόπλευρο (αν και οι τρεις πλευρές είναι ίσες), ισοσκελές (αν οι δύο είναι ίσες) και σκαληνό (αν και οι τρεις είναι άνισες). Ως προς τις εσωτερικές γωνίες, ένα τ. μπορεί να είναι οξυγώνιο (με όλες τις γωνίες οξείες), ορθογώνιο (η μία γωνία ορθή) και αμβλυγώνιο (η μία αμβλεία). Η πρόταση: «το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών ενός τ. ισούται με δύο ορθές γωνίες», με την οποία τελειώνει το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη, αποδεικνύεται με το αξίωμα των παράλληλων καθόσον, στην ευκλείδια γεωμετρία, από ένα σημείο άγεται μία και μόνη παράλληλος προς μια άλλη δεδομένη ευθεία. Στη σφαίρα, όμως, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τ. είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές (επειδή ως ευθείες θεωρούνται μέγιστες περιφέρειες, και ως σημεία τα ζεύγη των σημείων τα εκ διαμέτρου αντίθετα, δεν υφίστανται παράλληλοι από ένα σημείο προς δεδομένη ευθεία). Σε μια ψευδοσφαίρα, στην οποία από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες (γεωδετική επιφάνειας), που δεν συναντούν μια δεδομένη ευθεία (γεωμετρία Λομπατσέφσκι), το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τ. είναι μικρότερο από δύο ορθές. Διαμέσους ενός τ. καλούμε τις ευθείες που ενώνουν κάθε κορυφή με το μέσον της απέναντι πλευράς. Οι τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα κοινό σημείο, που αποτελεί το βαρύκεντρο του τ., εφόσον τούτο αποτελείται από ομογενή ύλη. Κοινό σημείο τομής έχουν και τα τρία ύψη (oρθόκεντρο), οι διχοτόμοι των γωνιών (κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου) και οι κάθετοι στο μέσον κάθε πλευράς (κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου). Στα τ. ισχύουν οι εξής 3 περιπτώσεις ισότητας : α) όταν έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση· β) όταν έχουν ίση μια πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες ίσες· γ) όταν έχουν ως όμοια δύο τ. που έχουν τις γωνίες ίσες και τις πλευρές ανάλογες, έχουμε 3 περιπτώσεις ομοιότητας, αντίστοιχες προς τις περιπτώσεις της ισότητας. Επειδή ένα τ. ισοδυναμεί με το μισό ενός ορθογωνίου, που έχει ίση βάση και ίσο ύψος, το εμβαδόν της επιφάνειας ενός τ. υπολογίζεται με τον τύπο ή σε συνάρτηση με τις πλευρές του, το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο του Ήρωνα: , όπου p είναι η ημιπερίμετρος και α, β, γ οι πλευρές. Στην αναλυτική γεωμετρία αν x ₁ και y₁ (1 = 1, 2, 3) είναι οι συντεταγμένες των κορυφών, το εμβαδόν του τ. δίνεται: Οι τρεις περιπτώσεις ισότητας των τ. μας επιτρέπουν να θεωρήσουμε ότι ένα τ. προσδιορίζεται με τα 3 από τα 6 στοιχεία του (3 πλευρές, 3 γωνίες), με τον όρο, μεταξύ των τριών αυτών στοιχείων να περιλαμβάνεται και μία πλευρά. Επομένως, ο προσδιορισμός των 3 στοιχείων ενός τ. σε συνάρτηση με τα άλλα 3 στοιχεία του, αποτελεί το θεμελιώδες πρόβλημα της τριγωνομετρίας. Στην ειδική περίπτωση του ορθογωνίου τ. ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα: α² = β² + γ², εφόσον δίνονται οι πλευρές α, β, γ, δηλαδή η υποτείνουσα και οι δύο κάθετες. Το πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα πόρισμα του εξής θεωρήματος του Ευκλείδη: σε κάθε ορθογώνιο τ., το τετράγωνο μιας των καθέτων πλευρών ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της καθέτου αυτής στην υποτείνουσα. Αληθεύει επίσης και το αντίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήματος, δηλαδή, για να είναι ένα τ. ορθογώνιο, αναγκαίος και επαρκής όρος είναι η εκπλήρωση αυτού του θεωρήματος.

* * *

το / τρίγωνον ΝΜΑ

γεωμετρικό σχήμα το οποίο έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές και δημιουργείται με τη συνένωση, από τρία ευθύγραμμα τμήματα, τριών σημείων που δεν βρίσκονται σε ευθεία

νεοελλ.

1. ξύλινο εργαλείο σχεδίασης το οποίο έχει συνήθως σχήμα ορθογώνιου τριγώνου

2. ξυλουργικό εργαλείο παρόμοιου σχήματος, το οποίο χρησιμεύει για εξακρίβωση δίεδρων γωνιών, κν. γωνιά

3. μουσ. α) μουσικό κρουστό όργανο από κεκαμμένη χαλύβδινη ράβδο σε σχήμα τριγώνου τού οποίου η μία γωνία μένει ανοιχτή και το οποίο είναι αναρτημένο από σπάγγο και κρούεται με χαλύβδινη ράβδο

β) μεταλλικό όργανο με τριγωνικό σχήμα το οποίο χτυπούν τα παιδιά με μικρή ράβδο όταν ψάλλουν τα κάλαντα

4. ανατ. τριγωνικού σχήματος ανατομική χώρα

5. είδος γλυκίσματος με τριγωνικό σχήμα

6. φρ. α) «κορυφές τριγώνου» — τα τρία σημεία στα οποία τέμνονται οι πλευρές ενός τριγώνου

β) «πλευρές τριγώνου» — τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου

γ) «διάμεσος τριγώνου» — ευθεία που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο τής απέναντι πλευράς

δ) «κέντρο βάρους τριγώνου» — το σημείο στο οποίο τέμνονται οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου

ε) «ορθόκεντρο τριγώνου» — το σημείο στο οποίο τέμνονται τα τρία ύψη τού τριγώνου

στ) «αμβλυγώνιο τρίγωνο» — τρίγωνο τού οποίου η μία γωνία είναι αμβλεία

ζ) «αριθμητικό τρίγωνο» — σύνολο ακέραιων αριθμών διατεταγμένων σε σχήμα τριγώνου

η) «ισόπλευρο τρίγωνο» — τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές και συνεπώς και τις τρεις γωνίες του ίσες

θ) «ισοσκελές τρίγωνο» — τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ή δύο γωνίες ίσες

ι) «οξυγώνιο τρίγωνο» — τρίγωνο που έχει και τις τρεις γωνίες οξείες

ια) «ορθογώνιο τρίγωνο» — τρίγωνο που έχει μία γωνία ορθή

ιβ) «σκαληνό τρίγωνο» — τρίγωνο τού οποίου και οι τρεις πλευρές είναι άνισες

ιγ) «στοιχεία τριγώνου» — κάθε μέγεθος, γωνία ή ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ορίζεται σε ένα τρίγωνο

ιδ) «σφαιρικό τρίγωνο» — τρίγωνο τού οποίου και οι τρεις πλευρές είναι τόξα μέγιστων κύκλων μιας σφαίρας

ιε) «ύψος τριγώνου» η κάθετος που άγεται από την κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά

ιστ) «τρίγωνο Πασκάλ» — τριγωνική διάταξη αριθμών που επινοήθηκε από τον Πασκάλ και που δίνει τους συντελεστές τού αναπτύγματος (χ + α)μ

ιζ) «σύνδεση κατά τρίγωνο»

(ηλεκτρολ.) τρόπος συνδεσμολογίας τών αντιστάσεων κατανάλωσης σε ένα κύκλωμα τριφασικού εναλλασσόμενου ρεύματος κατά το οποίο οι αντιστάσεις έχουν τη θέση τών πλευρών ενός τριγώνου τού οποίου οι κορυφές συνδέονται με τις τρεις φάσεις τού ρεύματος

ιη) «Βόρειο Τρίγωνο»

αστρον. μικρός αστερισμός κάτω από τον αστέρα γ Ανδρομέδας ο οποίος βρίσκεται στην παρυφή τής ζώνης τού Γαλαξία και μεταξύ τών αστερισμών Ανδρομέδας, Κριού, Περσέως και Ιχθύων

ιθ) «Νότιο Τρίγωνο»

αστρον. μικρός αστερισμός τού Νότιου Ημισφαιρίου, καταφανέστερος τού Βόρειου Τριγώνου, αλλά αόρατος στα βόρεια πλάτη

κ) «ιψενικό τρίγωνο» — βλ. ιψενικός

αρχ.

1. τριγωνοειδές μουσικό όργανο, παρεμφερές με μικρή άρπα, το οποίο είχε χορδές ισοπαχείς μεν, αλλά διαφορετικού μήκους και παιζόταν με τα δάχτυλα, κυρίως από γυναίκες, συνοδεύοντας το τραγούδι

2. ένα από τα δέκα τμήματα στα οποία διαιρούνταν η Ηλιαία, πιθανώς από το σχήμα τού τόπου στον οποίο συνεδρίαζε το δικαστήριο

3. ονομασία αστερισμού

4. ονομασία φυτού στην Αίγυπτο.

[ΕΤΥΜΟΛ. Ουσιαστικοποιημένος τ. τού ουδ. τού επιθ. τρίγωνος].